La notion de « modes propres » pour les matériaux fût mise en évidence pour la première fois au XIXème siècle, par le scientifique allemand Hermann von Helmholtz, alors qu’il cherchait à comprendre la perception des cinq sens humains. La découverte des modes propres a été rendue possible grâce à l’invention qui porte son nom : le résonateur de Helmholtz.
Cette invention, qui se base sur les vibrations, changea de formes à travers le temps, mais le principe resta le même : faire vibrer les matériaux pour observer la manière dont ils vont réagir. Aujourd’hui, cette observation est très importante pour savoir comment des matériaux, ou des structures, vont réagir. L’expérience du « pot vibrant », dans cette optique, consiste à faire vibrer une plaque carrée et d’observer ses mouvements. Pour cela, du sable est déposé sur la plaque.
On remarque alors que le sable s’organise pour former des figures complexes. Ces dernières sont caractéristiques de ce que l’on nomme les « modes propres » du matériau.
Essayons maintenant de comprendre pourquoi ces formes se dessinent, tout en découvrant ce que sont ces énigmatiques « modes propres ». Pour cela, expliquons ce qui se déroule au cours de l’expérience.
Le mouvement appliqué à la plaque est périodique, c’est-à-dire que chaque excitation de la plaque est séparée par un intervalle de temps égal. Le nombre d’excitation par seconde est nommée « fréquence de vibration ». Pour de nombreuses fréquences, le mouvement de la plaque est aléatoire mais, pour certaines fréquences, des formes vont commencer à se former sur la plaque. Les fréquences où cela arrive, ou « fréquences propres », sont les « modes propres » du matériau.
Exemple de mode propre de la plaque
Maintenant que nous savons ce que sont les modes propres, essayons de comprendre pourquoi cela forme les figures que nous observons. Pour cela, nous allons nous intéresser aux ondes :
Cette animation représente ce que l’on appelle une « onde stationnaire ». Ce type d’onde est caractérisé par ce que l’on nomme les « nœuds » et les « ventres » de vibration. Sur l’animation, nous voyons qu’il existe des « points » où l’onde ne bouge pas : ce sont les « nœuds » de vibration. Les points où l’onde bouge le plus sont, au contraire, les « ventres » de vibration.
Contrairement à cet exemple, pour lequel il n’y a qu’un nombre fini de nœuds et de ventres, notre plaque en compte une infinité quand elle vibre. De ce fait, le sable, qui se trouve sur la plaque, va se poser sur les points de la plaque qui restent immobiles.
Mais pourquoi est-il important de connaître les modes propres d’un matériau ? Pour répondre à cette question, nous allons nous intéresser au phénomène de résonnance.
Quand il est immobile, tout matériau possède une énergie finie. Lorsqu’on le met en mouvement, on augmente alors l’énergie se trouvant à l’intérieur : il se met à osciller, comme l’onde que nous avons vue précédemment, et le matériau va vibrer de plus en plus lentement au fur et à mesure.
Néanmoins, si l’on excite le matériau à des moments-clef, par exemple à chaque fois que le matériau est ondulé, alors l’énergie au sein de ce dernier ne va jamais cesser d’augmenter. C’est ce phénomène que l’on nomme « résonnance ». Un matériau ne pouvant stocker qu’une quantité finie d’énergie, ce dernier va arriver à un point de rupture s’il reste en résonnance trop longtemps. Autrement dit, il va se briser.
Le tristement connu pont de Tacoma est un parfait exemple de la dangerosité de ce phénomène :
Nous avons donc vu que les modes propres des matériaux sont liés à la fréquence à laquelle ces derniers sont mis en mouvement, et qu’ils sont dangereux à cause du phénomène de résonnance. Connaître et analyser les modes propres d’un matériau, ou d’une structure plus complexe, est donc nécessaire, et c’est pour cela que des expériences, tel que le pot vibrant, existent.
La technique d’analyse liée au pot vibrant est appelée « analyse modale » et permet ainsi de déterminer les modes propres de vibration d’un matériau ou d’une structure plus complexe. Les modes propres doivent donc être analysés et identifiés, afin d’éviter de stimuler la structure à des fréquences qui pourrait causer des dégâts irréversibles.