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Formule de la loi normale.

Telle est la formule de nombreux mathématicien, découvert par Jacques Bernoulli, puis continué par Abraham de Moivre et Carl Friedrich Gauss, puis achevé par Pierre-Simon de Laplace en 1812. On la trouve partout, de la répartition du poids des nouveau-nés, à la distribution de la somme de deux dés, en passant par la rentabilité des investissements financiers.

Mais, ne vous inquiétez pas, on ne va pas rentrer dans les détails mathématiques, et on va tout vous expliquer.

C’est en 1889 que Francis Galton a l’idée de cette planche, car il était fasciné du phénomène qu’il appelait  » L’ordre dans le chaos apparent « .

La Planche de Galton.

L’idée est simple, des clous sont plantés en cascade sur la partie supérieure de la planche, de telle sorte qu’une bille lâchée sur la planche passe soit à droite soit à gauche de chaque clous. Dans la partie inférieure, les billes sont rassemblées en fonction du nombre de passages à gauche et de passages à droite qu’elles ont fait. Plus la planche est grande et plus il est difficile de prédire la trajectoire de la bille. On dit alors que la trajectoire de la bille est aléatoire.

Voyant maintenant en image, ce que fait cette planche :

Expérience réalisée par Eric Pairel, enseignant-chercheur au SYMME

Essayons maintenant de comprendre ce qu’il se passe, et pourquoi les billes se mettent selon cet arrangement.

Lorsque nous lançons un grand paquet de bille, on obtient cela (c’est le phénomène que nous venons de voir sur la vidéo) :

Planche de Galton avec 10 000 billes.

On remarque donc que, naturellement, les billes se concentrent sur le milieu de la planche, et non pas de manière horizontale. Pourquoi un tel arrangement ?

Pour aller à l’extrémité gauche de la planche (resp. à l’extrémité droite de la planche), il faut que la bille aille que sur la gauche (resp. droite). Alors que pour aller au milieu de la planche, la bille a bien plus de manières d’y arriver.

Une manière très explicite de comprendre ce phénomène, c’est de s’intéresser aux probabilités :

La planche de Galton
Probabilité pour la planche de Galton.

On voit bien que la probabilité d’aller que à gauche est bien plus faible que celle pour aller au milieu. En effet, on peut voir que la probabilité d’être à l’extrémité gauche (ou droite) est de 1 chance sur 128 (dans le cas où la planche a 8 étages), alors qu’il y a 35 chances sur 128 pour que la bille aille au milieu.

Cette distribution des billes est aujourd’hui bien connu, une formule mathématique permet de la tracer, cette loi mathématique est appelée : Loi Normale (ou Courbe en cloche, ou encore Courbe de Gauss).

Si on superpose cette formule mathématique avec la planche, on obtient :

Planche de Galton avec 10 000 billes, superposée de la courbe de la loi normale.

Ce qui est fascinant avec ce modèle, c’est que naturellement les billes viennent se mettre dans cette position. Cette position qui régit aujourd’hui absolument tout dans notre société, que ce soit en anatomie humaine avec la répartition des tailles humaines, en statistique avec la répartition des moyennes d’étudiants, en traitement du signal, en économie, en estimations, en balistique.