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Le pendule de Newton est sans doute le pendule le plus connu au monde, certainement davantage pour ses propriétés visuelles envoûtantes et esthétiques que pour ses aspects scientifiques relativement intéressants, comme vous pouvez le voir ci-dessous :

Pendule de Newton

C’est alors qu’à ce moment-là vous vous souvenez-vous de toutes les fois où vous avez vu cette objet et vous vous dites que sa création est l’oeuvre du grand Isaac Newton. La réalité n’est en fait pas exactement celle-ci. En effet, tout débute avec Christiaan Huygens qui utilisait des pendules pour étudier des collisions. Ainsi dans son ouvrage De Motu Corporum ex Percussione, il expose une version de la première loi de Newton et traite de la collision de corps suspendus comprenant deux corps de masses égales, le mouvement du corps en mouvement étant transféré à celui au repos, ce qui est parfaitement illustré dans le pendule de Newton. Cependant, le principe démontré par ce dispositif n’a pas été démontré par Christiaan Huygens mais par le physicien français Abbé Mariotte au 17e siècle. Isaac Newton a ensuite reconnu le travail de ce dernier dans ses Principia. Concernant les origines du pendule de Newton moderne, elles ont longtemps été attribuées à Marius J. Morin mais sans prendre en compte qu’en 1967 Simon Prebbe a lancé la production d’une première version de cet objet.

Illustration

Le pendule de Newton se compose ainsi de cinq billes métalliques de masse identique suspendues par des fils à une structure rigide. 

Au sujet des expériences possibles avec ce dispositif, il y en a plusieurs. Tout d’abord, classiquement, il est possible de lancer une bille, mettant en mouvement la bille situé à l’autre extrémité du pendule. Cela peut être étendu avec la lancé que ce soit de deux billes, de trois billes ou bien de quatre billes, entraînant le mouvement du nombre de billes correspondant à celles lancés. Dans le même cadre, une expérience se compose du lancé d’une bille de chaque côté du pendule en même temps. Celles-ci rebondissent alors au même moment sur les trois billes du milieu qui restent immobiles. Le résultat est identiques avec deux billes lancés de chaque coté à la différence près que seule une bille est immobile au centre du dispositif. Cela diffère légèrement si deux billes sont lâchés d’un côté et trois de l’autre. En effet, elles se percutent et trois vont dans un sens, deux dans l’autre, alternativement. Dans le même temps, enlever une bille au repos lorsqu’une autre effectue un mouvement de l’autre côté décale logiquement le mouvement d’une bille. Enfin, il est possible de lancer plusieurs billes à des instant différents, augmentant par conséquent le nombre de mouvements mais également de chocs. Toutes ces configurations sont présentées dans la vidéo suivante :

Expériences possibles avec un pendule de Newton,
Pendule réalisé à l’école d’ingénieurs Polytech Annecy Chambéry / réalisation B. Girard

Explications

Nous allons à présent nous intéresser au fonctionnement scientifique du pendule de Newton en expliquant les phénomènes mis en jeu. Pour cela, nous nous concentrerons sur la cas ou une bille est lancée, le cas ou deux billes sont lancées ainsi que le cas ou trois billes ou plus sont lancés. Etant donné que deux niveaux d’explications seront présents pour permettre à tout le monde d’approcher ce pendule, nous nous permettrons dans le second d’aller plus loin que les trois cas qui viennent d’être évoqué.

Niveau débutant

Débutons par le cas ou une une bille est lancée. L’interprétation est assez aisée  si l’on considère un pendule avec uniquement deux billes. Les principes de conservation évoqués conduisent alors à un système de deux équations dans lesquels les caractéristiques du pendule, avant et après la collision sont reliées. Ainsi, avec les données initiales sur les billes que sont la vitesse de départ nulle de l’une d’entre elles et l’égalité de leur masse, la résolution de ce système permet de trouver la vitesse respective de chaque bille après leur collision. Nous constatons donc que l’effet du choc s’est simplement traduit par l’échange de la vitesse des deux billes. Cela se traduit, rappelons-le, par le fait que si une bille est lancé d’un coté sur plusieurs autres immobiles, cette bille s’arrête consécutivement au choc tandis que celle située à l’autre extrémité se soulève en récupérant le mouvement de la bille initialement lancée.

Concernant le cas ou deux billes sont lancées, il se traduit par la même explication que précédemment à la différence près qu’il n’y a pas un impact mais deux.

Le cas ou trois billes ou plus sont lancées est assez différent. En effet, les lois de conservation de la quantité de mouvement et de l’énergie cinétique ne sont plus suffisantes. Admettons alors qu’il y ait cinq billes dont les conditions initiales sont connus. Il est donc nécessaire d’avoir cinq équations afin de déterminer les cinq vitesses finales. Pour cela, il faut tenir compte d’une propriété particulière du dispositif, en considérant que le système est composé de masses et de ressorts, la propagation d’une onde. Ce n’est que si cette propagation se déroule sans dispersion que résulte le comportement observé avec les billes. La non-dispersion de la chaîne de billes vient ainsi du fait que les ressorts correspondant à la pression d’une sphère sur une autre n’est pas du tout du type de la loi de Hooke, c’est-à-dire qu’il y a seulement une faible dispersion et par conséquent un mouvement peu chaotique.

Niveau confirmé

Commençons cette explication en évoquant les cas classiques ou une à plusieurs billes entrent en collision. Pour deux billes, seules les équations de conservation de l’élan et de l’énergie sont nécessaires pour résoudre les deux vitesses résultantes inconnues. Pour trois billes, les compressibilités relatives des surfaces de collision sont les variables supplémentaires déterminant le résultat. Par exemple, cinq billes ont quatre points de collision et la division de trois d’entre elles par la quatrième donne les trois variables supplémentaires nécessaires pour résoudre les cinq vitesses post-collision. Dans le même temps, la loi de Newton s’applique à chaque bille et la somme des forces est égale à zéro. Il y a ainsi cinq équations, une pour chaque bille, et cinq inconnues, une pour chaque vitesse. Si les billes sont identiques, la compressibilité absolue des surfaces devient sans importance puisqu’elle peut être divisée des deux côtés des cinq équations, ce qui donne zéro. Concernant les cas d’une bille frappant quatre billes initialement en contact, la détermination des vitesses est trouvée en modélisant les billes comme des poids avec des ressorts non traditionnels sur leurs surfaces de collision. Etant donné que la plupart des matériaux, comme l’acier, qui sont efficacement élastiques, suivent approximativement la loi de Hooke pour les ressorts. Cependant, puisque la surface de contact d’une sphère augmente avec la force, les billes élastiques dépendent de l’ajustement de Hertz à la loi de Hooke. Cette loi et la loi de Newton pour le mouvement sont appliquées à chaque balle, ce qui donne cinq équations différentielles simples mais interdépendantes. Ainsi, lorsque la cinquième bille commence à accélérer, elle reçoit l’élan et l’énergie des troisième et quatrième billes par l’action élastique de leurs surfaces comprimées. Pour des billes élastiques identiques de tout type avec des billes se touchant initialement, l’action est la même pour le premier coup, sauf que le temps nécessaire pour terminer une collision augmente dans les matériaux plus mous. Effectivement, quarante à cinquante pourcents de l’énergie cinétique de la bille initiale est stockée dans sa surface comme énergie potentielle pour la plus grande partie du processus de collision. Concernant sa vitesse initiale, treize pour cent d’entre-elle est communiquée à la quatrième bille et il existe une légère vitesse inverse dans les trois premières billes. Cela sépare les billes mais elles reviennent ensemble juste avant que la cinquième bille ne revienne. Ceci est dû à un phénomène de perturbations. Le moment où les boules se touchent lors des collisions suivantes est complexe, mais il est toujours possible de le déterminer par cette méthode, surtout si l’on tient compte des pertes par frottement et si l’on calcule exactement le moment du pendule au lieu de se fier à l’approximation des petits angles. Les équations différentielles avec les séparations initiales sont alors nécessaires s’il y a moins de dix micromètre de séparation lorsque des billes d’acier de cent grammes avec une vitesse de frappe initiale de un mètre par seconde sont utilisés. Les équations différentielles hertziennes prédisent que si deux billes en frappent trois, les cinquième et quatrième billes partiront avec des vitesses respectivement augmentées et diminuées, ce qui représente deux fois plus d’énergie cinétique dans la cinquième bille que dans la quatrième, ce qui signifie que la cinquième bille se balancera deux fois plus haut dans la direction verticale que la quatrième bille. Mais dans un vrai pendule de Newton, la quatrième bille se balance jusqu’à la cinquième balle. Pour expliquer la différence entre la théorie et l’expérience, les deux billes doivent avoir une séparation d’au moins dix micromètres. Cela montre que dans le cas courant des billes d’acier, les séparations inaperçues peuvent être importantes et doivent être incluses dans les équations différentielles hertziennes, ou la solution simple donne un résultat plus précis.

Les forces de la solution hertzienne ci-dessus étaient supposées se propager dans les boules immédiatement, ce qui n’est pas le cas. Les changements soudains de la force entre les atomes de la matière s’accumulent pour former une onde de pression. Les ondes de pression dans l’acier se propagent d’environ cinq centimètres en dix microsecondes, ce qui est environ dix fois plus rapide que le temps entre la première boule qui frappe et la dernière boule qui est éjectée. Les ondes de pression se réfléchissent dans les cinq billes environ dix fois, bien qu’elles se dispersent en un front d’onde moins important et plus réfléchissant. Ce phénomène est suffisamment rapide pour que la solution hertzienne ne nécessite pas une modification substantielle pour tenir compte du retard de propagation de la force à travers les balles. Dans les balles moins rigides mais toujours très élastiques comme le caoutchouc, la vitesse de propagation est plus lente, mais la durée des collisions est plus longue, de sorte que la solution hertzienne s’applique toujours. L’erreur introduite par la vitesse limitée de propagation de la force biaise la solution hertzienne vers la solution simple car les collisions ne sont pas autant affectées par l’inertie des billes qui sont plus éloignées.

Des billes de forme identique aident les ondes de pression à converger vers le point de contact de la dernière bille, ou au point de frappe initial, une onde de pression va vers l’avant vers les autres billes, tandis qu’une autre va vers l’arrière pour se réfléchir sur le côté opposé de la première bille, puis elle suit la première onde, en étant exactement à un diamètre de bille derrière. Les deux ondes se rejoignent au dernier point de contact, car la première onde se réfléchit sur le côté opposé de la dernière balle et se rejoint au dernier point de contact avec la deuxième onde. Ensuite, elles réverbèrent environ dix fois jusqu’à ce que la première balle cesse de se connecter avec la seconde. Ensuite, les réverbérations se réfléchissent sur le point de contact entre la deuxième et la troisième bille, mais convergent toujours au dernier point de contact, jusqu’à ce que la dernière boule soit éjectée.

L’utilisation de différents types de matériaux ne modifie pas l’action tant que le matériau est efficacement élastique. La taille des sphères ne change pas les résultats, sauf si le poids accru dépasse la limite élastique du matériau. Si les sphères solides sont trop grandes, de l’énergie est perdue sous forme de chaleur, car la limite élastique augmente avec le rayon mais l’énergie qui a dû être absorbée et libérée augmente comme le cube du rayon. Le fait de rendre les surfaces de contact plus plates peut permettre de surmonter ce problème dans une certaine mesure en répartissant la compression sur une plus grande quantité de matériau, mais cela peut introduire un problème d’alignement. L’acier est meilleur que la plupart des matériaux car il permet d’appliquer la solution simple plus souvent dans les collisions après le premier coup, sa plage élastique pour stocker l’énergie reste bonne malgré l’énergie plus élevée causée par son poids, et le poids plus élevé diminue l’effet de la résistance de l’air.

Cette discussion a négligé les pertes d’énergie dues à la chaleur générée dans les balles par une élasticité imparfaite, la friction des cordes, le frottement dû à la résistance de l’air et le bruit généré par le cliquetis des balles vibrantes. Les pertes d’énergie sont la raison pour laquelle les balles finissent par s’arrêter, mais elles ne sont pas la cause première ou initiale de l’action qui devient plus désordonnée, loin de l’action idéale d’une seule balle en mouvement à tout moment. L’augmentation de l’action non idéale est causée par des collisions qui impliquent plus de deux balles à la fois, faisant effectivement paraître la balle frappée plus lourde. La taille des billes d’acier est limitée car les collisions peuvent dépasser la limite élastique de l’acier, le déformant et provoquant des pertes de chaleur.

Conclusion

Le pendule de Newton, qui semble préféré pour son apparence que pour ses caractéristiques scientifiques, est pourtant un dispositif traduisant des phénomènes extrêmement intéressants, que ce soit la conservation de la quantité de mouvement ou la conservation de l’énergie cinétique. De nombreuses expériences sont ainsi possibles, majoritairement pour illustrer les principes précédent, mais dont certaines permettent d’aller plus loin en jouant sur les matériaux, en s’intéressant aux pertes de chaleur et de friction, en étudiant aux effet des ondes de pression…